*** Ancien sujet de bac : Antilles-Guyane, juin 2016

Sur le graphique ci-dessous, \(\mathscr{C}\) est la courbe représentative, dans le repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)\) , d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) .

Partie A - Étude graphique

La droite \(T\) est tangente à \(\mathscr{C}\) au point \(\text A(2,\!5~;~1,\!5)\) et d'ordonnée à l'origine \(2,\!75\) .
L'axe des abscisses est asymptote horizontale à \(\mathscr{C}\) au voisinage de \(+\infty\) . 
Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :
1.  \(f(1)\)  

2.  \(f'(2,\!5)\)  
3. une équation de la tangente \(T\)  
4. \(\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)\)

Partie B - Modélisation

On admet qu'il existe deux réels \(a\) et \(b\)  tels que, pour tout réel \(x\) , \(f(x) = (ax +  b)\text{e}^{-x+2,5}\) .

1. Calculer \(f'(x)\) en fonction de \(a\) et \(b\)  .

2. Exprimer en fonction des réels   \(a\) et \(b\)   les nombres  \(f(1)\) et \(f'(2,\!5)\) .

3. Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par \(a\) et \(b\)  .

4. Résoudre ce système et en déduire l'expression de \(f(x)\) en fonction de \(x\) .

Partie C - Étude algébrique

On admet que, pour tout réel \(x\) , \(f(x) = (x - 1)\text{e}^{-x+2,5}\) .

1. Déterminer la limite de \(f\) en \(- \infty\) .

2. a. Montrer que, pour tout réel \(x\) ,  \(f(x) = \text{e}^{2,5}\left(\dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x}\right)\) .
    b. Déterminer la limite de  \(f\) en \(+ \infty\) .

3. a. Calculer \(f'(x)\) pour tout réel \(x\) .
    b. Étudier le signe de \(f'\) et en déduire le tableau des variations de la fonction  \(f\) en faisant figurer les limites trouvées précédemment.

Partie D - Application

On souhaite déterminer l'aire \(S\) en unité d'aire de la surface d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil auditif schématisé ci-dessous.
Une modélisation mathématique a permis de représenter cette surface.

Dans le plan muni du repère orthonormé   \(\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)\) , cette surface correspond à la partie du plan limitée par :

• l'axe des abscisses ;
• les droites d'équations \(x = 1\) et \(x = 2,\!5\) ;
• la courbe représentative \(\mathscr{C}\) de la fonction \(f\) étudiée précédemment ;
• la courbe représentative \(\mathscr{C}_g\) de la fonction \(g\) définie pour tout réel par  \(g(x) = -2x^2 + 12x - 16\) .

1. Sur le graphique ci-dessous, hachurer la surface décrite précédemment.

Pour déterminer l'aire  \(S\) de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.

2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale \(I = \displaystyle\int_2^{2,5} g(x)\:\text{d}x\) .

3. On souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale \(J = \displaystyle\int_1^{2,5} f(x)\:\text{d}x\)  où   \(f\)   est la fonction dont une expression est donnée dans la partie C.
    a. Vérifier qu'une primitive \(F\) de la fonction   \(f\)   sur \(\mathbb R\)  est la fonction définie pour tout réel   \(x\)   par \(F(x) = - x \text{e}^{-x+2,5}\) .
    b. En déduire la valeur exacte de l'intégrale \(J\) .

4. a. Déterminer la valeur exacte de l'aire  \(S\) en unités d'aire.
    b. En déduire la valeur arrondie à \(10^{-2}\) de l'aire  \(S\) en unités d'aire.